Question

f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1．
（1）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的值域；
（2）作出y=f（x）在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖；
（3）說(shuō)明f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到？

Answer 1

分析：先根據(jù)兩角和與差公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)整理得f（x）=2sin（2x+

π

6

），
（1）將2x+

π

6

看作整體，求出取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．
（2）令2x+

π

6

=0，

π

2

 ， π，

3π

2

， 2π，求出x及對(duì)應(yīng)的y值，描點(diǎn)連線(xiàn)．
（3）先進(jìn)行左移

π

6

個(gè)單位，再各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

倍．

解答：解：（1）f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)
∵x∈[0，

π

2

]∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴所求值域?yàn)閇-1，2]
（2）列表

描點(diǎn)連線(xiàn)

（3）可由y=sinx的圖象先向左平移

π

6

個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變而得到．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差公式、正弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)、三角函數(shù)圖象變換，考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算等能力．