Question

某品牌專賣店準(zhǔn)備在春節(jié)期間舉行促銷活動，根據(jù)市場調(diào)查，該店決定從2種型號的洗衣機(jī)，2種型號的電視機(jī)和3種型號的電腦中，選出3種型號的商品進(jìn)行促銷．
（Ⅰ）試求選出的3種型號的商品中至少有一種是電腦的概率；
（Ⅱ）該店對選出的商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高150元，同時(shí)，若顧客購買該商品，則允許有3次抽獎的機(jī)會，若中獎，則每次中獎都獲得m元獎金．假設(shè)顧客每次抽獎時(shí)獲獎與否的概率都是

1

2

，設(shè)顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額（單位：元）為隨機(jī)變量X，請寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，問該店若想采用此促銷方案獲利，則每次中獎獎金要低于多少元？

Answer 1

（Ⅰ）由題意知本題是一個(gè)古典概型，
∵從2種型號的洗衣機(jī)，2種型號的電視機(jī)，3種型號的電腦中，
選出3種型號的商品一共C₇³種選法．
選出的3種型號的商品中沒有電腦的選法有C₄³種，
∴選出的3種型號的商品中至少有一種是電腦的概率為P=1-

C 34

C 37

=

31

35

．
（Ⅱ）X的所有可能的取值為0，m，2m，3m．
X=0時(shí)表示顧客在三次抽獎中都沒有中獎，
∴P（X=0）=

C

03

(

1

2

)0(

1

2

)3=

1

8

同理可得
P（X=m）=C₃¹(

1

2

)1(

1

2

)2=

3

8

，
P（X=2m）=

C

23

(

1

2

)2(

1

2

)1=

3

8

P（X=3m）=C₃³(

1

2

)3(

1

2

)0=

1

8

∴顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額X的分布列為：



于是顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的數(shù)學(xué)期望是
EX=0×

1

8

+m×

3

8

+2m×

3

8

+3m×

1

8

=1.5m
（Ⅲ）要使促銷方案對商場有利，應(yīng)使顧客獲獎獎金總額的數(shù)學(xué)期望低于商場的提價(jià)數(shù)額，
因此應(yīng)有1.5m＜150，所以m＜100．
故每次中獎獎金要低于100元，才能使促銷方案對商場有利．