Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

2+x

2-x

（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（3）當(dāng)0＜a＜1時，求使f（x）＞0成立時x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

2+x

2-x

＞0得 （x+2）（x-2）＜0，解得x的范圍，即可求得定義域．
（2）函數(shù)f(x)=loga

2+x

2-x

是奇函數(shù)，證明如下：任意取x∈（-2，2），根據(jù)f（-x）=-f（x），可得函數(shù)為奇函數(shù)．
（3）因為loga

2+x

2-x

＞0，且  0＜a＜1，所以，0＜

2+x

2-x

＜1，由此求得x的范圍．

解答：解：（1）由

2+x

2-x

＞0得  （2+x）（2-x）＞0，則  （x+2）（x-2）＜0，
解得-2＜x＜2．…（2分）
即定義域為（-2，2）．…（3分）
（2）函數(shù)f(x)=loga

2+x

2-x

是奇函數(shù)．…（4分）
證明如下：任意取x∈（-2，2），
則 f(x)=loga

2+x

2-x

，f(-x)=loga

2-x

2+x

，…（5分）
又 f(-x)=loga

2-x

2+x

=loga(

2+x

2-x

)-1=-loga

2+x

2-x

=-f（x），
因此函數(shù)f(x)=loga

2+x

2-x

是奇函數(shù)．…（8分）
（3）因為loga

2+x

2-x

＞0，且  0＜a＜1，所以，0＜

2+x

2-x

＜1，…（10分）
由

2+x

2-x

＞0，解得-2＜x＜2；由

2+x

2-x

＜1，解得 x＜0或x＞2．
綜合可得-2＜x＜0．
因此，當(dāng)0＜a＜1時，求使f（x）＞0成立時x的取值范圍為（-2，0）．…（14分）

點評：本題主要求函數(shù)的定義域、函數(shù)的奇偶性的判斷和證明方法，解對數(shù)不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．