Question

若多面體的各個頂點都在同一球面上，則稱這個多面體內(nèi)接于球．如圖，設(shè)長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)接于球O，且AB=BC=2，AA1=2

2

，則A、B兩點之間的球面距離為

 

．

Answer 1

分析：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD邊長為2，高AA₁=2

2

，它的八個頂點都在同一球面上，那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線長為球的直徑，中點O為球心，根據(jù)球面距離的定義，應(yīng)先算出球面兩點對球心的張角，再乘以球的半徑即可．

解答：解：由題意可得：長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁為正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
所以正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD邊長為2，高AA₁=2

2

，它的八個頂點都在同一球面上，
則正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線長為球的直徑，中點O為球心．
所以正四棱柱對角線AC₁=4，
則球的半徑為2．
在△AOB中根據(jù)余弦定理可得∠AOB=

π

3

；
則A，B兩點的球面距離為

π

3

•2=

2π

3

故答案為：

2π

3

．

點評：解決多面體與球相關(guān)的“切”“接”問題時，關(guān)鍵是抓住球心的位置，球心是球的靈魂，再根據(jù)球面距離的定義，應(yīng)先算出球面兩點對球心的張角，再乘以球的半徑．這是通性通法．