Question

若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則

OP

•

FP

的最大值為（　　）

• A、2
• B、3
• C、6
• D、8

Answer 1

分析：先求出左焦點(diǎn)坐標(biāo)F，設(shè)P（x₀，y₀），根據(jù)P（x₀，y₀）在橢圓上可得到x₀、y₀的關(guān)系式，表示出向量

FP

、

OP

，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算將x₀、y₀的關(guān)系式代入組成二次函數(shù)進(jìn)而可確定答案．

解答：解：由題意，F(xiàn)（-1，0），設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則有

x02

4

+

y02

3

=1，解得y02=3(1-

x02

4

)，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

FP

=(x0+1，y0)，

OP

=(x0，y0)，
所以

OP

•

FP

=x0(x0+1)+y02=

OP

•

FP

=x0(x0+1)+3(1-

x02

4

)=

x02

4

+x0+3，
此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為x₀=-2，
因?yàn)?2≤x₀≤2，所以當(dāng)x₀=2時(shí)，

OP

•

FP

取得最大值

22

4

+2+3=6，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程序以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力．