Question

（2011•上海）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓

x2

2

+y²=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則|OP|²+|PF|²的最小值為

2

．

Answer 1

分析：先求出左焦點(diǎn)坐標(biāo)F，設(shè)P（x，y），根據(jù)P（x，y）在橢圓上可得到x、y的關(guān)系式，表示出|OP|²+|PF|²，再將x、y的關(guān)系式代入組成二次函數(shù)進(jìn)而可確定答案．

解答：解：由題意，F(xiàn)（-1，0），設(shè)點(diǎn)P（x，y），則有

x2

2

+y²=1，解得y²=1-

x2

2

，
因?yàn)閨OP|²+|PF|²=x²+y²+（x+1）²+y²=x²+（x+1）²+2-x²=（x+1）²+2，
此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，
|OP|²+|PF|²的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程序以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力．