Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中=；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可容易判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求得單調(diào)區(qū)間；

（2）要證沒有極值點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為求證在恒成立；結(jié)合（1）中所求可知當(dāng)時(shí)，；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求得在時(shí)恒成立，則問題得解.

（1），，

當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，令，解得，，

顯然，，

∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（2），

由（1）可知時(shí)，在是增函數(shù)，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，，

下面證明：當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴在上為增函數(shù)，

∴，

∴存在使得，即，

并且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，有最小值，

∵，

∴，

∴，即，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，

∴在區(qū)間上沒有極值點(diǎn).