Question

【題目】如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺(tái)形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對(duì)角線AC的長為10 cm，容器Ⅱ的兩底面對(duì)角線EG，E1G1的長分別為14cm和62cm．分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）
（Ⅰ）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；
（Ⅱ）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長度．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)玻璃棒在CC1上的點(diǎn)為M，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N，
在平面ACM中，過N作NP∥MC，交AC于點(diǎn)P，
∵ABCD﹣A1B1C1D1為正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，
又∵AC平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，
∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2 ， 解得MC=30cm，
∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，
∴ = ， ，得AN=16cm．
∴玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm．
（Ⅱ）設(shè)玻璃棒在GG1上的點(diǎn)為M，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N，
在平面E1EGG1中，過點(diǎn)N作NP⊥EG，交EG于點(diǎn)P，
過點(diǎn)E作EQ⊥E1G1 ， 交E1G1于點(diǎn)Q，
∵EFGH﹣E1F1G1H1為正四棱臺(tái)，∴EE1=GG1 ， EG∥E1G1 ，
EG≠E1G1 ，
∴EE1G1G為等腰梯形，畫出平面E1EGG1的平面圖，
∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，
∴E1Q=24cm，
由勾股定理得：E1E=40cm，
∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos ，
根據(jù)正弦定理得： = ，∴sin ，cos ，
∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ，
∴EN= = =20cm．
∴玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm．


【解析】（Ⅰ）設(shè)玻璃棒在CC1上的點(diǎn)為M，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N，過N作NP∥MC，交AC于點(diǎn)P，推導(dǎo)出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推導(dǎo)出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l沒入水中部分的長度．
（Ⅱ）設(shè)玻璃棒在GG1上的點(diǎn)為M，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N，過點(diǎn)N作NP⊥EG，交EG于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作EQ⊥E1G1 ， 交E1G1于點(diǎn)Q，推導(dǎo)出EE1G1G為等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒l沒入水中部分的長度．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正弦定理的定義和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握正弦定理:；一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．