Question

【題目】已知函數(shù),,,且

(1)若函數(shù)在處取得極值,試求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè),為的導(dǎo)函數(shù),若存在,使成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)函數(shù)的解析式為,定義域?yàn)?/span>；

單調(diào)增區(qū)間為,和,,單調(diào)減區(qū)間為和；(2).

【解析】

(1)求導(dǎo)后根據(jù)在處取得極值可得,再求解即可得,求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)以及正負(fù)區(qū)間,進(jìn)而得到原函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可.

(2)根據(jù)題意可得存在為的根,再化簡(jiǎn)可得,再求導(dǎo)分析的值域,進(jìn)而求得的取值范圍即可.

解；(1)由題意,

,

由函數(shù)在處取得極值,得,即,解得,

則函數(shù)的解析式為,定義域?yàn)?/span>,

,

又對(duì)恒成立,

令則有,解得,且,即或；

同理令可解得或；

綜上,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,和,,單調(diào)減區(qū)間為和.

(2)由題意,

則,

,

由條件存在,使成立得,對(duì)成立,

又

對(duì)成立,

化簡(jiǎn)得,令,則問題轉(zhuǎn)化為求在區(qū)間上的值域,

求導(dǎo)得,

令,為二次函數(shù),圖象開口向上,△,則,又,

則,在區(qū)間上單調(diào)遞增,值域?yàn)?/span>,

所以的取值范圍是.