Question

已知拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的焦點為F₂，其準線與x軸交于點F₁，以F₁，F(xiàn)₂為焦點，離心率為

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓的標準方程及其右準線的方程；
（2）用m表示P點的坐標；
（3）是否存在實數(shù)m，使得△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實數(shù)m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解（1）∵c₁：y²=4mx的右焦點F₂（m，0）∴橢圓的半焦距c=m，
又e=

1

2

，∴橢圓的長半軸的長a=2m，短半軸的長b=

3

m．
橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1當m=1時，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，右準線方程為：x=4
（2）由

y2=4mx x2 4m2 + y2 3m2 =1

，解得：P(

2

3

m，

2 6

3

m)
（3）假設存在滿足條件的實數(shù)m，由（Ⅱ）知P(

2

3

m，

2 6

3

m)
∴|PF2|=

2

3

m+m=

5

3

m，|PF1|=4m-|PF2|=

7

3

m，又|F1F2|=2m=

6

3

m．
即△PF₁F₂的邊長分別是

5

3

m、

6

3

m、

7

3

m．
∵

6m

3

-

5m

3

=

7m

3

-

6m

3

=1∴m=3，
故存在實數(shù)m使△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)．