Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，當x∈（0，1]且x₁≠x₂時，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0．給出下列命題：
（1）f（1）=0
（2）f（x）在[-2，2]上有3個零點   
（3）（2014，0）是函數(shù)y=f（x）的一個對稱中心  
（4）直線x=1是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸．
其中正確命題的編號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性，單調(diào)性之間的關(guān)系，分別進行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，
令x=0，則f（-1）=f（1）=-f（1），解得f（1）=0．故（1）正確．
（2）∵f（x-1）=f（x+1）
∴f（x+2）=f（x），即函數(shù)的周期為2，
∵f（0）=f（2）=f（-2），f（-1）=f（1），∴f（x）在[-2，2]上至少有5個零點，故（2）錯誤．
（3）∵函數(shù)的周期為2，
∴f（2014）=f（0）=0，即（2014，0）是函數(shù)y=f（x）的一個對稱中心，故（3）正確．
（4）∵f（1）=0，∴（1，0）是函數(shù)的一個對稱中心，
∵當x∈（0，1]且x₁≠x₂時，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0．
∴此時函數(shù)單調(diào)遞減，
∴x=1不是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，故（4）錯誤，
故正確的命題是（1）（3），
故答案為：（1）（3）

點評：本題主要考查與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的命題的真假判斷，涉及函數(shù)的奇偶性，周期性，單調(diào)性和對稱性，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．