Question

f（x，y）=0（或：y=f（x））在其上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線，f（x，y）=0（或y=f（x）＞的自公切線，下列方程的曲線存在公切線的序號為

 

（填上所有正確的序號）①y-x²=|x；②|x|+1=

x-y2

； ③y=3sinx+4cosx；④x²-y²=1； ⑤y=xcosx．

Answer 1

分析：通過畫出函數(shù)圖象，觀察其圖象是否滿足在其上圖象上是否存在兩個不同點處的切線重合，從而確定是否存在自公切線，從而得到結(jié)論．

解答：解：函數(shù) y=x²-|x|的圖象如下左圖顯然滿足要求，故①存在；
而對于方程|x|+1=

4-y2

，其表示的圖形為圖中實線部分，不滿足要求，故②不存在
函數(shù)y=3sinx+4cosx的一條自公切線為y=5，故③存在；
x²-y² =1為等軸雙曲線，不存在自公切線，故④不存在．  
函數(shù) y=xcosx的圖象如下右圖顯然滿足要求，存在自公切線，故⑤存在；
  
故答案為：①③⑤

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及新定義自公切線，題目比較新穎，解題的關(guān)鍵是理解新的定義，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．