Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△AA1C均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，平面AA1C1C⊥平面ABC．

（1）證明：A1O⊥平面ABC；

（2）求直線AB與平面A1BC1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）由AA1=A1C，且O為AC的中點(diǎn)，得A1O⊥AC，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，即可證得A1O⊥平面ABC；

（2）以O為原點(diǎn)，OB，OC，OA1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面A1BC1的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）證明：∵AA1=A1C，且O為AC的中點(diǎn)，

∴A1O⊥AC，

又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，且交線為AC，又A1O平面AA1C1C，

∴A1O⊥平面ABC；

（2）如圖，以O為原點(diǎn)，OB，OC，OA1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

由已知可得O（0，0，0）A（0，-1，0），

，

平面A1BC1的法向量為，

則有，

所以的一組解為，

設(shè)直線AB與平面A1BC1所成角為，

則

又∵，

所以直線AB與平面A1BC1所成角的正弦值：．