Question

已知動圓C經(jīng)過點(diǎn)F（0，1），并且與直線y=-1相切，若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點(diǎn)，則圓C的面積（ ）
A．有最大值為π
B．有最小值為π
C．有最大值為4π
D．有最小值為4π

Answer 1

【答案】分析：因?yàn)橹本�3x-4y+20=0與圓C有公共點(diǎn)，則直線與圓相切或相交，而點(diǎn)F（0，1）在直線3x-4y+20=0的下方，所以直線3x-4y+20=0與圓相切時圓最小，再求得此時的半徑，從而求得面積．
另外，本題還可根據(jù)由于圓經(jīng)過點(diǎn)F（0，1）且與直線y=-1相切，所以圓心C到點(diǎn)F與到直線y=-1的距離相等，由拋物線的定義知點(diǎn)C的軌跡方程為x²=4y，根據(jù)點(diǎn)、直線間的距離公式列出方程求r的最值來求解本題．
解答：解法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²
則根據(jù)題意：
解得：r=2
故最小的圓的面積是4π
解法二：由拋物線的定義知點(diǎn)C的軌跡方程為x²=4y，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），
∵⊙C過點(diǎn)F，∴半徑r=|CF|==，
直線3x-4y+20=0圓C有公共點(diǎn)，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（x，）到直線3x-4y+20=0的距離d=
解得x≥或x≤-2，從而得圓C的半徑r=+1≥2，故圓的面積有最小值4π．
點(diǎn)評：本題主要考查點(diǎn)與圓、線與圓的位置關(guān)系在求圓的方程中的應(yīng)用．