Question

已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過點(diǎn)F（0，1），并且與直線y=-1相切，若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點(diǎn)，則圓C的面積（　�。�

• A、有最大值為π
• B、有最小值為π
• C、有最大值為4π
• D、有最小值為4π

Answer 1

分析：因?yàn)橹本�3x-4y+20=0與圓C有公共點(diǎn)，則直線與圓相切或相交，而點(diǎn)F（0，1）在直線3x-4y+20=0的下方，所以直線3x-4y+20=0與圓相切時(shí)圓最小，再求得此時(shí)的半徑，從而求得面積．
另外，本題還可根據(jù)由于圓經(jīng)過點(diǎn)F（0，1）且與直線y=-1相切，所以圓心C到點(diǎn)F與到直線y=-1的距離相等，由拋物線的定義知點(diǎn)C的軌跡方程為x²=4y，根據(jù)點(diǎn)、直線間的距離公式列出方程求r的最值來求解本題．

解答：解法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²
則根據(jù)題意：

(0-a)2+(1-b)2=r2 |b+1 =r |3a-4b+20 5 =r

解得：r=2
故最小的圓的面積是4π
解法二：由拋物線的定義知點(diǎn)C的軌跡方程為x²=4y，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，

x2

4

），
∵⊙C過點(diǎn)F，∴半徑r=|CF|=

(x-0)2+( x2 4 -1)2

=

x2

4

+1，
直線3x-4y+20=0圓C有公共點(diǎn)，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（x，

x2

4

）到直線3x-4y+20=0的距離d=

|3x-4× x2 4 +20|

5

≤

x2

4

+1
解得x≥

10

3

或x≤-2，從而得圓C的半徑r=

x2

4

+1≥2，故圓的面積有最小值4π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查點(diǎn)與圓、線與圓的位置關(guān)系在求圓的方程中的應(yīng)用．