Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，與直線x+y-1=0相交于A，B兩點，且OA⊥OB，為坐標原點．
（Ⅰ）求

1

a2

+

1

b2

的值；
（Ⅱ）若橢圓長軸長的取值范圍是[

5

，

6

]，求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：本題主要考查橢圓的標準方程與性質(zhì)、直線與橢圓的位置關系及參數(shù)的求值問題，
（Ⅰ）通過直線與橢圓的位置關系，利用代入法求解相應的代數(shù)式的值；
（Ⅱ）利用長軸長的取值范圍，結合關系式與不等式的求解來確定離心率的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）將x+y-1=0代入橢圓方程整理得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0（﹡）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

，
而y1y2=(1-x1)(1-x2)=

b2(1-a2)

a2+b2

．（3分）
又∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0∴

a2(1-b2)

a2+b2

+

b2(1-a2)

a2+b2

=0∴a²+b²=2a²b²，∴

1

a2

+

1

b2

=2①
經(jīng)驗證，此時方程（﹡）有解，∴

1

a2

+

1

b2

=2（7分）
（Ⅱ）將b2=a2-c2，e=

c

a

代入①得
2-e²=2a²（1-e²），∴e2=

2a2-2

2a2-1

=1-

1

2a2-1

（10分）
而2a∈[

5

，

6

]，∴

1

3

≤e2≤

1

2

而0＜e＜1，∴

3

3

≤e≤

2

2

故e的取值范圍為[

3

3

，

2

2

]（13分）．

點評：本題是直線與圓錐曲線的綜合問題．近年高考中圓錐曲線問題的解答難度有逐漸變低的趨勢．通過解析幾何自身的特點，結合相應的數(shù)學知識，比如不等式、數(shù)列、函數(shù)、向量、導數(shù)等，考查各知識點之間的綜合應用，也是考查學生綜合能力的一大考點．在新課標的高考中，圓錐曲線的考查以基礎知識為主，難度不會太大．