Question

【題目】對(duì)于函數(shù)，若存在，使成立， 則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).

（1）若函數(shù)有不動(dòng)點(diǎn)和， 求的值 ；

（2）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)總有 2 個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn) ， 求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若定義在實(shí)數(shù)集 R 上的奇函數(shù)存在（有限的）個(gè)不動(dòng)點(diǎn) ， 求證：必為奇數(shù).

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)見(jiàn)解析

【解析】

（1）由不動(dòng)點(diǎn)定義有， 即. ①

將代入式①得.

將代入式①得.解得.

（2）由條件知， 對(duì)任意實(shí)數(shù)， 方程 ①總有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根， 所以， 恒成立，即對(duì)任何實(shí)數(shù)，恒成立.

從而， ， 即.解得.

（3）顯然點(diǎn)是奇函數(shù)在 R 上的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).若有異于的不動(dòng)點(diǎn)， 則.

又，

則也是在 R 上的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

所以， 的有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)除原點(diǎn)外 ， 都是成對(duì)出現(xiàn)的， 有 個(gè).則 在 R上共有個(gè)不動(dòng)點(diǎn).因此，為奇數(shù).