Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且.

（1）證明：平面；

（2）若，，點(diǎn)在棱上，且，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）證明平面，可得出，再證明可得出，利用線(xiàn)面垂直的判定定理可得出結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出的坐標(biāo)，并計(jì)算出平面的法向量，利用空間向量法能計(jì)算出直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

（1）因?yàn)?/span>平面，且平面，所以，

又，，所以平面，

平面，故，

因?yàn)?/span>，，，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

所以，所以，又，平面；

（2）因?yàn)?/span>，，則，，

過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>平面，所以平面，

又因?yàn)?/span>，故可以、、分別作為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則部分點(diǎn)坐標(biāo)為：，，，，

則，，，

因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，且，則，

則，即有，即，

由（1）知平面，則為平面的一個(gè)法向量，

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，

即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.