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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】已知函數f(x)=2lnx+ax﹣ (a∈R)在x=2處的切線經過點(﹣4,2ln2)
          (1)討論函數f(x)的單調性
          (2)若不等式 恒成立,求實數m的取值范圍.

          【答案】
          (1)解:由f(x)=2lnx+ax﹣ (a∈R),求導f′(x)= +a+ ,

          當x=2時,f′(2)=1+a+f′(2),

          ∴a=﹣1,

          設切點為(2,2ln2+2a﹣2f′(2)),則切線方程y﹣(2ln2+2a﹣2f′(2))=f′(2)(x﹣2),

          將(﹣4,2ln2)代入切線方程,2ln2﹣2ln2﹣2a+2f′(2))=﹣6f′(2),則f′(2)=﹣ ,

          ∴f′(x)= ﹣1﹣ = ≤0,

          ∴f(x)在(0,+∞)單調遞減


          (2)解:由不等式 恒成立,則 (2lnx+ )>m,

          令φ(x)=2lnx+ ,(x>0)求導φ′(x)= ﹣1=﹣( ﹣1)2≤0,

          ∴φ(x)在(0,+∞)單調遞減,

          由φ(1)=0,

          則當0<x<1時,φ(x)>0,

          當x>1時,φ(x)<0,

          (2lnx+ )在(0,+∞)恒大于0,

          ∴m≤0,

          實數m的取值范圍(﹣∞,0]


          【解析】(1)求導,當x=2時,代入f′(x),即可求得a=﹣1,求得點斜式方程,將(﹣4,2ln2)代入點斜式方程,即可求得f′(2),即可求得函數f(x)的單調區(qū)間;(2)由題意可知 (2lnx+ )>m,構造輔助函數,求導,根據函數的單調性及零點性質,求得 (2lnx+ )最小值,即可求得實數m的取值范圍.
          【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點,需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減;求函數上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數內的極值;(2)將函數的各極值與端點處的函數值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

          練習冊系列答案
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          ②兩個變量的線性相關程度越強,則相關系數的值越接近于1;
          ③兩個分類變量X與Y的觀測值κ2 , 若κ2越小,則說明“X與Y有關系”的把握程度越大;
          ④隨機變量X~N(0,1),則P(|X|<1)=2P(X<1)﹣1.
          A.①④
          B.②④
          C.①③
          D.②③

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          B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布表

          滿意度評分分組

          [50,60)

          [50,60)

          [50,60)

          [50,60)

          [50,60)

          頻數

          2

          8

          14

          10

          6


          (1)(I)在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖,并通過此圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分 散 程度.(不要求計算出具體值,給出結論即可)
          B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖

          (2)(II)根據用戶滿意度評分,將用戶的滿意度評分分為三個等級:

          滿意度評分

          低于70分

          70分到89分

          不低于90分

          滿意度等級

          不滿意

          滿意

          非常滿意

          估計那個地區(qū)的用戶的滿意度等級為不滿意的概率大,說明理由.

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