Question

如圖，某工廠生產(chǎn)的一種無(wú)蓋冰淇淋紙筒為圓錐形，現(xiàn)一客戶訂制該圓錐紙筒，并要求該圓錐紙筒的容積為π．設(shè)圓錐紙筒底面半徑為r，高為h．
（1）求出r與h滿足的關(guān)系式；
（2）工廠要求制作該紙筒的材料最省，求最省時(shí)

h

r

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)圓錐紙筒的容積為V，則V=

1

3

πr2h，進(jìn)而由圓錐紙筒的容積為π，得到r與h滿足的關(guān)系式；
（2）工廠要求制作該紙筒的材料最省，即所用材料的面積最小，即要該圓錐的側(cè)面積最小，求出圓錐側(cè)面積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)法，求出h=

3	6

時(shí)S最小，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：（1）設(shè)圓錐紙筒的容積為V，則V=

1

3

πr2h，
由該圓錐紙筒的容積為π，則

1

3

πr2h=π，即r²h=3，
故r與h滿足的關(guān)系式為r²h=3；                                …（4分）
（2）工廠要求制作該紙筒的材料最省，即所用材料的面積最小，即要該圓錐的側(cè)面積最小，
設(shè)該紙筒的側(cè)面積為S，則S=πrl，其中l(wèi)為圓錐的母線長(zhǎng)，且l=

r2+h2

，
所以S=πr

r2+h2

=π

(r2+h2)r2

=π

( 3 h +h2) 3 h

=π

9 h2 +3h

，（h＞0 ），…（8分）
設(shè)f（h）=

9

h2

+3h （h＞0 ），
由f′（h）=-

18

h3

+3=0，解得h=

3	6

，
當(dāng)0＜h＜

3	6

時(shí)，f′（h）＜0；當(dāng)h＞

3	6

時(shí)，f′（h）＞0；
因此，h=

3	6

時(shí)f（h）取得極小值，且是最小值，此時(shí)S亦最��；…（12分）
由r²h=3得

h

r

=

h2 r2

=

h3 3

=

6 3

=

2

，
所以最省時(shí)

h

r

的值為

2

．                                                                …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，是立體幾何與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．