Question

如圖所示，AB為⊙O的直徑，BC、CD為⊙O的切線，B、D為切點(diǎn)．
（I）求證：∠BOC=∠ODA；
（II）若AD=OD=1，過D點(diǎn)作DE垂直于BC，交BC于點(diǎn)E，且DE交OC于點(diǎn)F，求OF：FC的值．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)條件得到∠2+∠3=90°以及∠1+∠2=90°；即可得到結(jié)論．
（II）先結(jié)合條件得到△AOD為等邊三角形，∠1=60°；進(jìn)而得到△BCD為等邊三角形且DE⊥BC，再結(jié)合AB∥DE，即可得到答案．

解答：解：（I）如圖：連接BD，
因?yàn)镃B，CD是圓的兩條切線，
所以：BD⊥OC，
∴∠2+∠3=90°．
又AB為圓的直徑，又∠1=∠ODA，
∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°；
∴∠1=∠3，
∴∠BOC=∠ODA．
（II）∵AO=OD=1，
則AB=2，BD=

3

．且△AOD為等邊三角形，∠1=60°．
又∠3=∠1=60°，OB=1，則OC=2．
∴BC=DC=

3

，則△BCD為等邊三角形．其中DE⊥BC，則BE=EC．
又AB∥DE，則OF=FC，即OF：FC=1：1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察弦切角的應(yīng)用以及等邊三角形的應(yīng)用．解決本題第二問的關(guān)鍵在于等邊三角形知識(shí)在解題中的應(yīng)用．