Question

函數(shù)f(x)=(a，b是非零實(shí)常數(shù))，滿足f(2)=1，且方程f(x)=x有且僅有一個(gè)解。

(1)求a、b的值；

(2)是否存在實(shí)常數(shù)m，使得對(duì)定義域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？為什么？

(3)在直角坐標(biāo)系中，求定點(diǎn)A(–3,1)到此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)P的距離|AP|的最小值。

Answer 1

（1）1；（2）（3）3

解析:

(1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，

所以=1無解或有解為0，若無解，則ax+b=1無解，得a=0，矛盾，若有解為0，則b=1，所以a=。

(2)f(x)=，設(shè)存在常數(shù)m，使得對(duì)定義域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

取x=0，則f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性)，

又m= –4時(shí)，f(x)+f(–4–x)==……=4成立(充分性) ，所以存在常數(shù)m= –4，使得對(duì)定義域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

(3)|AP|²=(x+3)²+()²，設(shè)x+2=t，t≠0，

則|AP|²=(t+1)²+()²=t²+2t+2–+=(t²+)+2(t–)+2=(t–)²+2(t–)+10

=( t–+1)²+9， 所以當(dāng)t–+1=0時(shí)即t=，也就是x=時(shí)，|AP| _min = 3 。