Question

已知函數(shù)f(x)=a(x-

1

x

)-2lnx (a∈R)．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）將a=2代入，對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)得到切線的斜率k=f′（1），切點(diǎn)為（1，f（1）），根據(jù)點(diǎn)斜式即可寫出切線方程；
（2）由題意知先求函數(shù)f（x）的定義域，再由（1）得出的導(dǎo)數(shù)，設(shè)h（x）=ax²-2x+．下面對a進(jìn)行分類討論：①當(dāng)a≤0時，②當(dāng)若0＜a＜1時，③當(dāng)a≥1時，由此可知f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：f′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，…（1分）
令h（x）=ax²-2x+a．
（1）當(dāng)a=2時，函數(shù)f(x)=2(x-

1

x

)-2lnx，
f（1）=0，f′（x）=2（1+

1

x2

）-

2

x

．
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）=2．  …（2分）
從而曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），
即2x-y-2=0．       …（4分）
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）． 設(shè)h（x）=ax²-2x+a，
（a）當(dāng)a≤0時，h（x）=ax²-2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，
則f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此時f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．…（6分）
（b）當(dāng)a＞0時，△=4-4a²，
（�。┤�0＜a＜1，
由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得
0＜x＜

1- 1-a2

a

或x＞

1+ 1-a2

a

；…（8分）
由f′（x）＜0，即h（x）＜0，得

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

．…（9分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1- 1-a2

a

）和（

1+ 1-a2

a

，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

）．   …（11分）
（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
則f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此時f（x） 在（0，+∞）上單調(diào)遞增． …（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系．當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．