Question

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．

(1)證明：AE⊥平面PCD；

(2)求二面角A－PD－C的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）通過(guò)和得到 平面，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，證得是二面角的平面角，在中先求出，然后在中求出結(jié)論.

試題解析：(1)證明：在四棱錐中，因底面， 平面，

故.由條件， ，∴平面.

又平面，∴.

由， ，可得.

∵是的中點(diǎn)，∴.

又，綜上得平面.

（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，

由（1）知， 平面， 在平面內(nèi)的射影是，則．

因此是二面角的平面角．

由已知，可得．設(shè)，可得， ，

， ．

在中，∵，∴，則 ，

在中， .