Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax+b在x=2處取得極值為-8．
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-a，
根據(jù)題意得：f′（2）=12-a=0①，f（2）=8-2a+b=-8②．
聯(lián)立①②解得a=12，b=8．
所以a=12，b=8．
（2）由（1）知：f（x）=x³-12x+8，f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
令f′（x）=0得x=±2，
當(dāng)x＜-2或x＞2時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)-2＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，
所以當(dāng)x=-2時(shí)f（x）取得極大值，f（-2）=24，當(dāng)x=2時(shí)f（x）取得極小值，f（2）=-8．
又f（-3）=17，f（3）=-1，
所以當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，f_max（x）=24，f_min（x）=-8．
所以所求函數(shù)值域?yàn)椋篬-8，24]．
分析：（1）由題意可得f′（2）=0，f（2）=-8，聯(lián)立方程組即可求得a，b；
（2）由（1）可求得f（x），f′（x），利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)在x∈[-3，3]時(shí)的最大值、最小值，從而求得值域；
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，屬中檔題，f′（x₀）=0是可導(dǎo)函數(shù)f（x）在x₀處取得極值的必要非充分條件．