Question

已知向量

a

=(sinx， 1)，

b

=(1 ，cosx)，函數(shù)f(x)=

2

2

a

•

b

，
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若α∈(0，

π

2

)，β∈(0，

π

2

)，且f(α+β+

π

4

)=

3

5

，f(β-

π

4

)=

5

13

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，即可求解函數(shù)f（x）的值域；
（2）利用f(α+β+

π

4

)=

3

5

，求出α+β的余弦函數(shù)值，通過α∈(0，

π

2

)，β∈(0，

π

2

)，求出正弦函數(shù)值，利用f(β-

π

4

)=

5

13

，求出sinβ，通過sinα=sin[（α+β）-β]求解即可．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）f(x)=

2

2

a

•

b

=

2

2

×(sinx+cosx)=sin(x+

π

4

)…（3分）
f（x）的值域?yàn)椋篬-1，1]； …（4分）
（2）由f(α+β+

π

4

)=

3

5

得：sin(α+β+

π

2

)=cos(α+β)=

3

5

，
又α∈(0，

π

2

)，β∈(0，

π

2

)，則 α+β∈（0，π），sin(α+β)=

1-( 3 5 )2

=

4

5

…（8分）
由f(β-

π

4

)=

5

13

得：sinβ=

5

13

，
又 β∈(0，

π

2

)，cosβ=

1-( 5 13 )2

=

12

13

…（10分）
sinα=sin[（α+β）-β]=sin(α+β)•cosβ-cos(α+β)•sinβ=

4

5

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

33

65

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的值的求法，角的轉(zhuǎn)化技巧，考查計算能力．