Question

函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）（a為實(shí)數(shù)）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域（不必說明理由）；
（2）若函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）定義域上是增函數(shù)，求負(fù)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若不等式f（m•4^x+1）≥f（2^x）（m＞0，且m為常數(shù)）在x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵的定義域?yàn)椋?，+∞），a=-1，
∴f（x）=2x+=2，
當(dāng)且僅當(dāng)2x=，x=時(shí)取等號(hào)，
∴函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/28936.png' />； …（2分）
（2）函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
則任取x₁，x₂∈（0.1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，
從而有
在[1，+∞）上成立
∴-2≤a＜0，
∴負(fù)數(shù)a的取值范圍是[-2，0）．…（5分）
（3）∵m＞0，x∈（0，+∞），
從而m•4^x+1＞1且2^x＞1，
從而又（2）可得：在x∈（0，+∞）上恒成立．
令，，
從而可得
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|}．…（5分）
分析：（1）由的定義域?yàn)椋?，+∞），a=-1，知f（x）=2x+=2，由此能求出函數(shù)y=f（x）的值域．
（2）函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，任取x₁，x₂∈（0.1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，由此能求出負(fù)數(shù)a的取值范圍．
（3）m＞0，x∈（0，+∞），從而m•4^x+1＞1且2^x＞1，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的值域的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，考查運(yùn)算推理能力和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值不等式的合理運(yùn)用．