Question

已知函數(shù)f（x）=lg（1+2x），F(xiàn)（x）=f（x）-f（-x）．
（1）求函數(shù)F（x）的定義域；
（2）當(dāng)0≤x＜

1

2

時(shí)，總有F（x）≥m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：1+2x＞0且1-2x＞0，可求函數(shù)F（x）的定義域
（2）由題意可知F(x)=lg

1+2x

1-2x

，由F（x）≥m成立，則只要m≤F（x）_min，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：（1）由題意可知：F（x）=lg（1+2x）-lg（1-2x），
∴1+2x＞0且1-2x＞0，
即-

1

2

＜x＜

1

2

，
所以函數(shù)F（x）的定義域是(-

1

2

，

1

2

)；
（2）由題意可知F(x)=lg

1+2x

1-2x

，
設(shè)u(x)=

1+2x

1-2x

，則有 u(x)=-1+

2

1-2x

；
當(dāng)0≤x＜

1

2

時(shí)有：0≤2x＜1，即-1＜-2x≤0，
則有0＜1-2x≤1，則

1

1-2x

≥1，
故而

2

1-2x

≥2，-1+

2

1-2x

≥1；
∴u（x）_min=1，F(xiàn)（x）_min=lg1=0；
又由題意可得：m≤F（x）_min，
∴m≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的求解，函數(shù)恒成立與函數(shù)最值的相互轉(zhuǎn)化，復(fù)合函數(shù)的值域的求解，屬于綜合試題