Question

已知橢圓C：（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），動(dòng)直線l：x=my+c與橢圓C交于兩點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，M是橢圓C的上頂點(diǎn)，且△MF₁F₂的周長(zhǎng)為6。

（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，直線AM，AN與直線：x=4分別相交于點(diǎn)P，Q，問(wèn)當(dāng)m變化時(shí)，以線段PQ為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為120°，
所以
解得a=2，c=1
所以橢圓方程是。
（2）當(dāng)m=0時(shí)，直線l的方程為x=1．此時(shí)，M，N點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，
又A點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，0），由圖可以得到P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是（4，3），（4，-3），
以PQ為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)，被x軸截得的弦長(zhǎng)為6，
猜測(cè)當(dāng)m變化時(shí)，以PQ為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn)F₂，被x軸截得的弦長(zhǎng)為定值6，
證明如下：
設(shè)點(diǎn)M，N點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
則直線AM的方程是
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是
同理，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是
 由方程組得3（my+1）²+4y²=12（3m²+4）y²+6my-9=0
所以
從而



 所以，以PQ為直徑的圓一定過(guò)右焦點(diǎn)F₂，被x軸截得的弦長(zhǎng)為定值6。