Question

【題目】將一張紙沿直線l對折一次后，點A（0，4）與點B（8，0）重疊，點C（6，8）與點D（m，n）重疊．
（1）求直線l的方程；
（2）求m+n的值；
（3）直線l上是否存在一點P，使得||PB|﹣|PC||存在最大值，如果存在，請求出最大值，以及此時點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)線段AB的中點為N，則點N（4，2），且

則直線l的方程為2x﹣y﹣6=0

（2）解：設(shè)直線CD的方程為x+2y+C'=0

∵C（6，8）在直線CD上，∴C'=﹣22，則直線CD的方程為x+2y﹣22=0

設(shè)直線CD與直線l的交點為M，

則 ，∴

（3）解：假設(shè)直線l上存在點P，

∵||PB|﹣|PC||=||PA|﹣|PC||≥|AC|

當且僅當P，A，C三點共線時，等號成立

直線AC的方程為x﹣3y+12=0

∴ ，∴P（6，6）

【解析】（1）設(shè)線段AB的中點為N，則點N（4，2），且 ，即可求出直線l的方程；（2）求出直線CD的方程，可得直線CD與直線l的交點坐標，即可求m+n的值；（3）假設(shè)直線l上存在點P，利用||PB|﹣|PC||=||PA|﹣|PC||≥|AC|，得出結(jié)論．