Question

（1）設(shè)扇形的周長(zhǎng)是定值為c（c＞0），中心角α．求證：當(dāng)α=2時(shí)該扇形面積最大；
（2）設(shè)y=1-2a+a²-2acosx-2sin²x（-2≤a≤2，x∈R）．求證：y≥-3．

Answer 1

分析：（1）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l、半徑為R，由扇形面積公式得到面積S關(guān)于l的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)算出當(dāng)l=

c

2

時(shí)，S有最大值，進(jìn)而算出此時(shí)的中心角α=2，使命題得證；
（2）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，將y化成關(guān)于a與cosx的式子，配方得y=2(cosx-

a

2

)2+

a2

2

-2a-1，再由cosx的值域與a的范圍加以計(jì)算，可得y的最小值

1

2

[(a-2)2-6]≥-3，從而得出y≥-3．

解答：解：（1）證明：設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l、半徑為R，可得2R+l=c，R=

c-l

2

（c＞l）．
∴扇形的面積S=

1

2

Rl=

1

2

c-l

2

•l=

1

4

(cl-l2)=-

1

4

(l-

c

2

)2+

c2

16

．
∴當(dāng)且僅當(dāng)l=

c

2

時(shí)，S有最大值為

c2

16

．
此時(shí)R=

c

4

，可得中心角α=

l

R

=2，
∴當(dāng)α=2時(shí)該扇形面積最大，命題得證．
（2）證明：y=1-2a+a²-2acosx-2（1-cos²x），
=2(cosx-

a

2

)2+

a2

2

-2a-1，
∵-2≤a≤2，可得-1≤

a

2

≤1，
∴當(dāng)cosx=

a

2

時(shí)，y_min=

a2

2

-2a-1=

1

2

[(a-2)2-6]．
又∵-2≤a≤2，
∴ymin=

1

2

[(a-2)2-6]≥-3，當(dāng)a=2時(shí)取等號(hào)，
即y≥-3，命題得證．

點(diǎn)評(píng)：本題證明了關(guān)于扇形與二次函數(shù)的命題成立，著重考查了扇形的弧長(zhǎng)與面積公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．