Question

奇函數(shù)f（x）（x∈R）滿足：f（-4）=0，且在區(qū)間[0，3]與[3，+∞）上分別遞減和遞增，則不等式（x²-4）f（x）＜0的解集為

（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）

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Answer 1

分析：由題意，可先研究奇函數(shù)f（x）（x∈R）的特征，得出f（x）＜0的解集與f（x）＞0的解集，再研究x²-4符號(hào)為正時(shí)x的取值范圍與符號(hào)為負(fù)時(shí)x的取值范圍，不等式（x²-4）f（x）＜0說(shuō)明（x²-4）與f（x）符號(hào)相反，由此判斷出不等式的解集即可得到答案

解答：解：由題意奇函數(shù)f（x）（x∈R）滿足：f（-4）=0，且在區(qū)間[0，3]與[3，+∞）上分別遞減和遞增
可得f（4）=0
由上知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＜0的解集（0，4），f（x）＞0的解集（4，+∞），
由于函數(shù)是奇函數(shù)，故當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0的解集（-∞，-4），f（x）＞0的解集（-4，0），
令x²-4＞0解得x＞2或x＜-2
∴不等式（x²-4）f（x）＜0的解集為（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）
故答案為（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查了奇函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)單調(diào)性及由題設(shè)條件判斷函數(shù)值的符號(hào)，解題的關(guān)鍵是理解兩個(gè)因子乘積小于0，則兩者的符號(hào)相反，本題考查了判斷推理的能力及數(shù)形結(jié)合的思想，是函數(shù)性質(zhì)考察的經(jīng)典題，在高考中也多有出現(xiàn)．