Question

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），離心率為，過點(diǎn)B（3，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由離心率為，可設(shè)，則
因?yàn)?IMG style="WIDTH: 149px; HEIGHT: 45px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120822/201208222004482163026.png">經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）
所以，解得，
所以a²=6，b²=3
所以橢圓方程為
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣3），
直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由，消元整理得：（1+2k²）x²﹣12k²x+18k²﹣6=0
△=（12k²）²﹣4（1+2k²）（18k²﹣6）＞0得 0≤k²＜1
，
∴=（x₁﹣3，y₁）（x₂﹣3，y₂）=（x₁﹣3）（x₂﹣3）+y₁y₂
                   =（1+k²）[x₁x₂﹣3（x₁+x₂）+9]==
因?yàn)?≤k²＜1，
所以
所以的取值范圍是（2，3]．