Question

已知橢圓經過點A（2，1），離心率為，過點B（3，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若，求直線MN的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據橢圓經過點A（2，1），離心率為，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）設出MN的方程，與橢圓方程聯立，利用，可直線MN的斜率，從而可得直線MN的方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意有 ，，a²-b²=c²，
解得，，
所以橢圓方程為…（6分）
（Ⅱ）由直線MN過點B且與橢圓有兩交點，可設直線MN方程為y=k（x-3），
代入橢圓方程整理得（2k²+1）x²-12k²x+18k²-6=0…（8分）
△=24-24k²＞0，得k²＜1
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，
∴=
解得，所求直線方程為…（14分）
點評：本題考查軌跡方程的求法，考查值域與橢圓的位置關系，關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理求弦長．