Question

將圓x²+y²=4上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半（橫坐標(biāo)保持不變），得到曲線C．

⑴ 求曲線C的方程；

⑵ 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F(, 0)的直線l交曲線C于A、B兩點(diǎn)，N為線段AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)線段ON交曲線C于點(diǎn)E，求證：的充要條件是AB=3．

Answer 1

解．⑴設(shè)P(x₀, y₀)為圓C上任意一點(diǎn)，Q(x, y)的橫坐標(biāo)與P相同，縱坐標(biāo)為P的一半，

即x₀= x,  y₀=2y    

又P(x₀, y₀)滿足x₀²+y₀² = 4   則x²+4y² = 4

即 求曲線C的方程為     

⑵當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，、 AB=3都不成立； 

當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，

則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)(x₁, y₁)、(x₂,y₂)是方程組的解

整理，得：(1＋4k²)x²8k²x＋12k²4 =0

x₁＋x₂=, x₁x₂=      

∴N的坐標(biāo)為x_N = ，y_N= k(x_N－) =

∴ON的方程為y= x

與C的方程聯(lián)立，得  

必要性（→AB=3）：由得 =2× =2 x_N

       ∴ k²=      

此時(shí) AB=…=a－ex₁＋a－ex₂=2a－e(x₁＋x₂)=4－×=3

       ∴充分性成立

充分性（AB=3→）：

AB=…=a－ex₁＋a－ex₂=2a－e(x₁＋x₂)=4－×=3

       ∴ k²=

∴ = ，x_N = =  

∴ x_E =2 x_N            又E、N共線

       ∴必要性成立

綜上，的充要條件是AB=3．