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          已知函數(shù)f(x)=
          x2
          1+x2

          （1）求f（2）與f(
          1
          2
          )          ，f（3）與f(
          1
          3
          )          的值；
          （2）由（1）中求得的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f（x）與f(
          1
          x
          )          有什么關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn)；
          （3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f(2012)+f(
          1
          2
          )+f(
          1
          3
          )+          …+f(
          1
          2012
          )          的值．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）直接代入計(jì)算即可；
          （2）發(fā)現(xiàn)f（x）+f(
          1
          x
          )          =1，代入化簡即可證明；
          （3）利用（2）的結(jié)論即可得出．
          解答：解：（1）f（2）=
          22
          1+22
          =
          4
          5
          ，f(
          1
          2
          )          =
          (
          1
          2
          )2
          1+(
          1
          2
          )2
          =
          1
          5
          ；
          f(3)=
          32
          1+32
          =
          9
          10
          ，f(
          1
          3
          )=
          (
          1
          3
          )2
          1+(
          1
          3
          )2
          =
          1
          10
          ．
          （2）由（1）可得：f(x)+f(
          1
          x
          )=1          ，證明如下：
          f(x)+f(
          1
          x
          )          =
          x2
          1+x2
          +
          (
          1
          x
          )2
          1+(
          1
          x
          )2
          =
          x2
          1+x2
          +
          1
          1+x2
          =
          x2+1
          1+x2
          =1          ．
          （3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f(2012)+f(
          1
          2
          )+f(
          1
          3
          )+          …+f(
          1
          2012
          )
          =f（1）+[f(2)+f(
          1
          2
          )]          +[f(3)+f(
          1
          3
          )]          +…+[f(2012)+f(
          1
          2012
          )]
          =
          1
          2
          +2011          =
          4023
          2
          ．
          點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式的化簡與證明、探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律即證明應(yīng)用，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
          （1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
          （2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請(qǐng)求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2，x∈(0，+∞)          ，其中0＜a＜b．
          （1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
          （2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
          （3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
          求證：f1(x)+f2(x)＞
          4c2
          k(k+c)
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題
				題型：022
			
          

						
          

          已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．
          

          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：上海模擬
				題型：解答題
			
          

						
          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2，x∈(0，+∞)          ，其中0＜a＜b．
          （1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
          （2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
          （3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
          求證：f1(x)+f2(x)＞
          4c2
          k(k+c)
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版）
				題型：選擇題
			
          

						
          已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
          A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
          B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
          C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
          D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)
          

			
          

			
          
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