Question

如圖，在x軸上方有一段曲線弧Γ，其端點A、B在x軸上（但不屬于Γ），對Γ上任一點P及點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），滿足：|PF1|+|PF2|=2

2

．直線AP，BP分別交直線l：x=a (a＞

2

)于R，T兩點．
（1）求曲線弧Γ的方程；
（2）求|RT|的最小值（用a表示）；
（3）曲線Γ上是否存點P，使△PRT為正三角形？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義和簡單性質求得 Γ的方程．
（2） 設出P，R，T的坐標，由A，P，R三點共線，得

y1

a+ 2

=

n

m+ 2

 ①，由B，P，T三點共線得：

y2

a- 2

=

n

m- 2

②，變形得即y1y2=

1

2

(2-a2)．利用基本不等式求出|RT|的最小值．
（3）設P（x₀，y₀），線AP，BP的斜率存在，分別設為k₁、k₂ ，由正三角形的性質得k1•k2=

y 2 0

x 2 0 -2

=-

1

3

，
而由橢圓的方程知

y 2 0

x 2 0 -2

=-

1

2

，矛盾，故不存在點P，使△PRT為正三角形．

解答：解：（1）由橢圓的定義，曲線Γ是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點的半橢圓，c=1 ，  a=

2

 ，  b2=a2-c2=1，∴Γ的方程為

x2

2

+y2=1 (y＞0)．
（2）解：設P（m，n），R（a，y₁），T（a，y₂），則由A，P，R三點共線，得

y1

a+ 2

=

n

m+ 2

 ①，
同理，由B，P，T三點共線得：

y2

a- 2

=

n

m- 2

②，由①×②得：

y1y2

a2-2

=

n2

m2-2

．
由

m2

2

+n2=1?n2=1-

m2

2

，代入上式，

y1y2

a2-2

=

1- m2 2

m2-2

=-

1

2

．
即y1y2=

1

2

(2-a2)．
|RT|=|y1-y2|=

y 2 1 + y 2 2 -2y1y2

≥

2|y1y2|-2y1y2

=

2(a2-2)

，
當且僅當|y₁|=|y₂|，即y₁=-y₂時，取等號．
即|RT|的最小值是

2(a2-2)

．
（3）設P（x₀，y₀），依題設，直線l∥y軸，若△PRT為正三角形，則必有∠PAB=180°-∠PBx=30°，
從而直線AP，BP的斜率存在，分別設為k₁、k₂，由 k1=

y0

x0+ 2

=

3

3

；k2=

y0

x0- 2

=-

3

3

，
于是有k1•k2=

y 2 0

x 2 0 -2

=-

1

3

，而由橢圓的方程知

y 2 0

x 2 0 -2

=-

1

2

，矛盾．
∴不存在點P，使△PRT為正三角形．（14分）

點評：本題考查橢圓的定義、橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質的應用，正確進行式子的運算是本題的難點．