Question

如圖，在x軸上方有一段曲線弧Γ，其端點(diǎn)A、B在x軸上（但不屬于Γ），對(duì)Γ上任一點(diǎn)P及點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），滿足：|PF1|+|PF2|=2

2

．直線AP，BP分別交直線l：x=2于R，T兩點(diǎn)．
（1）求曲線弧Γ的方程；
（2）設(shè)R，T兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，求證：y₁y₂=-1；
（3）求|RT|的最小值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義，曲線Γ是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)的半橢圓，由此能求出Γ的方程．
（2）解法1：由曲線Γ的方程為

x2

2

+y2=1 (y＞0)，設(shè)P（x₀，y₀，知x₀²+2y₀²=2，

y 2 0

x 2 0 -2

=-

1

2

．由A(-

2

 ， 0)，B(

2

 ， 0)，知AP：y=

y0

x0+ 2

(x+

2

)；BP：y=

y0

x0- 2

(x-

2

)．由此能證明y₁y₂=-1．
解法2：設(shè)P（m，n），R（2，y₁），T（2，y₂），則由A，P，R三點(diǎn)共線，得

y1

2+ 2

=

n

m+ 2

．同理，由B，P，T三點(diǎn)共線得：

y2

2- 2

=

n

m- 2

．所以

y1y2

2

=

n2

m2-2

．由此能證明y₁y₂=-1．
（3）由|RT|=|y1-y2|=

y 2 1 + y 2 2 -2y1y2

≥

2|y1y2|-2y1y2

=2，知|RT|的最小值是2．

解答：解：（1）由橢圓的定義，曲線Γ是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)的半橢圓，c=1 ，  a=

2

 ，  b2=a2-c2=1．（2分）
∴Γ的方程為

x2

2

+y2=1 (y＞0)．（4分）
（注：不寫(xiě)區(qū)間“y＞0”扣1分）
（2）解法1：由（1）知，曲線Γ的方程為

x2

2

+y2=1 (y＞0)，設(shè)P（x₀，y₀），
則有x₀²+2y₀²=2，即

y 2 0

x 2 0 -2

=-

1

2

①（6分）
又A(-

2

 ， 0)，B(

2

 ， 0)，從而直線AP，BP的方程為
AP：y=

y0

x0+ 2

(x+

2

)；BP：y=

y0

x0- 2

(x-

2

)．（7分）
令x=2得R，T的縱坐標(biāo)分別為y1=

y0

x0+ 2

(2+

2

)；y2=

y0

x0- 2

(2-

2

)．
∴y1•y2=

2 y 2 0

x 2 0 -2

②（9分）
將①代入②，得y₁y₂=-1．（10分）
解法2：設(shè)P（m，n），R（2，y₁），T（2，y₂），則由A，P，R三點(diǎn)共線，得

y1

2+ 2

=

n

m+ 2

①
同理，由B，P，T三點(diǎn)共線得：

y2

2- 2

=

n

m- 2

②（6分）
由①×②得：

y1y2

2

=

n2

m2-2

．（8分）
由

m2

2

+n2=1?n2=1-

m2

2

，代入上式，

y1y2

2

=

1- m2 2

m2-2

=-

1

2

即y₁y₂=-1．（10分）
（3）由（2）得：|RT|=|y1-y2|=

y 2 1 + y 2 2 -2y1y2

≥

2|y1y2|-2y1y2

=2
當(dāng)且僅當(dāng)|y₁|=|y₂|，即y₁=-y₂時(shí)，取等號(hào)．（13分）
即|RT|的最小值是2．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．