Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，E是DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求

AA1

AB

的值；
（3）在（2）的條件下，求二面角D-AE-C的大�。�

Answer 1

分析：（1）以D為原點(diǎn)，直線(xiàn)DA，DC，DD₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA₁=a，AB=b，然后表示出向量

AC

，

DB1

，計(jì)算它們的數(shù)量可得結(jié)論；
（2）根據(jù)B₁D⊥AE，可得

DB1

•

AE

=-b2+

1

2

a2=0，求出a和b的等量關(guān)系，從而求出

AA1

AB

的值；
（3）

DC

是平面DAE的一個(gè)法向量，然后求出平面AEC的一個(gè)法向量n，最后根據(jù)公式cosθ=

DC •n

| DC ||n|

求出二面角D-AE-C的大�。�

解答：解：因?yàn)锳BCD-A₁B₁C₁D₁是長(zhǎng)方體，底面ABCD是正方形，所以DA、DC、DD₁兩兩垂直．
如圖，以D為原點(diǎn)，直線(xiàn)DA，DC，DD₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AA₁=a，AB=b．
則 D（0，0，0），A（b，0，0），B（b，b，0），C（0，b，0），B₁（b，b，a）．
（1）證明：因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AC

=(-b，b，0)，

DB1

=(b，b，a)，
所以

AC

•

DB1

=0，
所以AC⊥B₁D．…（3分）
（2）解：因?yàn)锽₁D⊥平面ACE，
所以B₁D⊥AE．
因?yàn)?span id="bjc4un0" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">E(0，0，

a

2

)，所以

AE

=(-b，0，

a

2

)，
因?yàn)?nbsp;

DB1

•

AE

=-b2+

1

2

a2=0，
所以 

AA1

AB

=

a

b

=

2

．…（6分）
（3）解：

DC

是平面DAE的一個(gè)法向量，

DC

=(0，b，0)．
設(shè)n=（x，y，z）是平面AEC的一個(gè)法向量，則n•

AC

=0，n•

AE

=0，
即 

-bx+by=0 -bx+ a 2 z=-bx+ 2 2 bz=0

取x=1，則y=1，z=

2

，即n=(1，1，

2

)．…（8分）
設(shè)二面角D-AE-C的大小是θ，則cosθ=

DC •n

| DC ||n|

=

1

2

，
所以二面角D-AE-C的大小是60°．…（10分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線(xiàn)線(xiàn)位置關(guān)系以及二面角的度量，利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題也是常用的方法，同時(shí)考查計(jì)算能力，屬于中檔題．