Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象如圖：
直線y=0在原點處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域（陰影）面積為

27

4

，求f（x）．

Answer 1

分析：題目中給出了函數(shù)的面積，故我們可以從定積分著手，求出函數(shù)以及函數(shù)與x軸的交點，建立等式求解參數(shù)．

解答：解：由圖可以看出f（0）=0，
代入f（x）=x³+ax²+bx+c，得c=0．
故方程可以化簡為：f（x）=x³+ax²+bx
對方程求導(dǎo)，得：f′（x）=3x²+2ax+b．
由題意直線y=0在原點處與函數(shù)圖象相切故f′（0）=0，
代入方程可得b=0．
故方程可以繼續(xù)化簡為：f（x）=x³+ax²=x²（x+a），
令f（x）=0，可得x=0或者x=-a
可以得到圖象與x軸交點為（0，0），（-a，0）
故對-f（x）從0到-a求定積分即為所求面積，即
∫₀^-af（x）dx=

27

4

，
將 f（x）=x³+ax²代入得
∫₀^-a（-x³-ax²）dx=

27

4

求解，得a=-3．
故f（x）=x³-3x²

點評：將函數(shù)圖象，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及定積分的計算有機結(jié)合起來，考查了學(xué)生的綜合能力．