Question

　如圖，在三棱柱BCD－B₁C₁D₁與四棱錐A－BB₁D₁D的組合體中，已知BB₁⊥平面BCD，四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝120°，AB＝，AD＝3，BB₁＝1．

(Ⅰ) 設(shè)O是線段BD的中點(diǎn)，

求證：C₁O∥平面AB₁D₁；

(Ⅱ) 求直線AB₁與平面ADD₁所成的角．

Answer 1

本題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系，線面角等基礎(chǔ)知識(shí)，

同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力。滿分14分。

 

(Ⅰ) 證明：取B₁D₁的中點(diǎn)E，連結(jié)C₁E，OA，則A，O，C共線，且 C₁E＝OA，

因?yàn)?i>BCD－B₁C₁D₁為三棱柱，

所以平面BCD∥平面B₁C₁D₁，

故C₁E∥OA，

所以C₁EAO為平行四邊形，

從而C₁O∥EA．

又因?yàn)?i>C₁O平面AB₁D₁，

EA平面AB₁D₁，

所以C₁O∥平面AB₁D₁．………………………………………………7分

(Ⅱ) 解：過(guò)B₁在平面B₁C₁D₁內(nèi)作B₁A₁∥C₁D₁，使B₁A₁＝C₁D₁．

連結(jié)A₁D₁，AA₁．

過(guò)B₁作A₁D₁的垂線，垂足為F，

則B₁F⊥平面ADD₁，

所以∠B₁AF為AB₁與平面ADD₁所成的角．

在Rt△A₁B₁F中，B₁F＝A₁B₁sin 60°＝．

在Rt△AB₁F中，AB₁＝，

故sin∠B₁AF ＝=．

所以∠B₁AF＝45°．

即直線AB₁與平面ADD₁所成角的大小為45°．     …………………14分