Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+1=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓C外，過(guò)P作圓C的切線，設(shè)切點(diǎn)為M．
（1）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（1，3）處，求此時(shí)切線l的方程；
（2）求滿足條件|PM|=|PO|的點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）對(duì)切線的斜率是否存在分類討論，用點(diǎn)斜式求得直線的方程．
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，代入平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，化簡(jiǎn)得軌跡方程．

解答：解：（1）把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+（y-2）²=4，∴圓心為C（-1，2），半徑r=2．
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)l的方程為x=1，C到l的距離d=2=r，滿足條件．
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，得l的方程為y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0，
則

|-k-2+3-k|

1+k2

=2，解得k=-

3

4

．∴l(xiāng)的方程為y-3=-

3

4

（x-1），即3x+4y-15=0．
綜上，滿足條件的切線l的方程為x=1，或3x+4y-15=0．
（2）設(shè)P（x，y），則|PM|²=|PC|²-|MC|²=（x+1）²+（y-2）²-4，|PO|²=x²+y²．
∵|PM|=|PO|，∴（x+1）²+（y-2）²-4=x²+y²，整理，得2x-4y+1=0，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為2x-4y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用點(diǎn)斜式求直線的方程，注意分類討論；直線和圓相切的性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，以及求軌跡方程的方法，屬于中檔題．