Question

【題目】已知f（x）=xlnx﹣ax，g（x）=﹣x2﹣2．
（1）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）當a=﹣1時，求函數f（x）在區(qū)間[m，m+3]（m＞0）上的最值；
（3）證明：對一切x∈（0，+∞），都有 成立．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立．

也就是 在x∈（0，+∞）上恒成立．令 ，

則 ．x∈（0，1）時，F'（x）＜0，x∈（1，+∞）時，F'（x）＞0．

因此F（x）在x=1處取極小值，也是最小值，即F（x）min=F（1）=3，

∴a≤3；

（2）

解：當a=﹣1時，f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，由f'（x）=0得 ．

當 時，在 上f'（x）＜0，在 上f'（x）＞0．

因此f（x）在 處取得極小值，也是最小值．故 ．

由于f（m）=m（lnm+1）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0，

因此f（x）max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．

當 時，f'（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上單調遞增，

故f（x）min=f（m）=m（lnm+1），f（x）max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]；

（3）

證明：要證 成立，即證 ，x∈（0，+∞）．

由（2）知a=﹣1時，f（x）=xlnx+x的最小值是 ，當且僅當 時取等號．

設 ，x∈（0，+∞），則 ，易知 ，

當且僅當x=1時取到．

從而可知對一切x∈（0，+∞），都有 ．

【解析】（1）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立，可化為a≤lnx+x+ 在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+ ，利用導數研究其單調性極值與最值即可得出；（2）把a=﹣1代入f（x），再求出f′（x），由f'（x）=0得 ，然后分類討論，當 時，在 上f'（x）＜0，在 上f'（x）＞0，因此f（x）在 處取得極小值，由于f（m）=m（lnm+1）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0，因此f（x）max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]，當 時，f'（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上單調遞增，從而可求出函數f（x）在區(qū)間[m，m+3]（m＞0）上的最值；（3）要證 成立，即證 ，由（Ⅱ）知a=﹣1時，f（x）的最小值是 ，當且僅當 時取等號．設 ，x∈（0，+∞），則 ，易知 ，當且僅當x=1時取到，即可證得結論．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．