Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD＝4，BD＝4，AB＝2CD＝8.

(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD⊥平面PAD；
(2)當(dāng)M點(diǎn)位于線段PC什么位置時(shí)，PA∥平面MBD?
(3)求四棱錐P－ABCD的體積．

Answer 1

（1）見解析（2）M點(diǎn)位于線段PC靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)處時(shí)（3）24.

(1)證明：在△ABD中，
∵AD＝4，BD＝4，AB＝8，∴AD²＋BD²＝AB².
∴AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD.
又BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.
(2)當(dāng)M點(diǎn)位于線段PC靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)處時(shí)，
PA∥平面MBD.
證明如下：連接AC，交BD于點(diǎn)N，連接MN.
∵AB∥DC，∴四邊形ABCD是梯形．
∵AB＝2CD，
∴CN∶NA＝1∶2.
又∵CM∶MP＝1∶2，∴CN∶NA＝CM∶MP，∴PA∥MN.
∵MN?平面MBD，PA?平面MBD，∴PA∥平面MBD.
(3)過點(diǎn)P作PO⊥AD交AD于O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.
即PO為四棱錐P－ABCD的高．
又△PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴PO＝×4＝2.
在Rt△ADB中，斜邊AB上的高為＝2，此即為梯形ABCD的高．
梯形ABCD的面積S_ABCD＝×2＝12.
四棱錐P－ABCD的體積V_P－ABCD＝×12×2＝24.