Question

（2005•上海模擬）已知數(shù)列{a_n}有a₁?a，a₂?p （常數(shù)p＞0），對任意的正整數(shù)n，S_n?a₁a₂…a_n，并有S_n滿足Sn=

n(an-a1)

2

．
（1）求a的值；
（2）試確定數(shù)列{a_n}是否是等差數(shù)列，若是，求出其通項公式，若不是，說明理由；
（3）對于數(shù)列{b_n}，假如存在一個常數(shù)b使得對任意的正整數(shù)n都有b_n＜b，且

lim

n→∞

bn=b，則稱b為數(shù)列{b_n}的“上漸進值”，求數(shù)列

an-1

an+1

的“上漸進值”．

Answer 1

分析：（1）由 a=a₁=s₁ 和 Sn=

n(an-a1)

2

 可得 a 的值．
（2）先求出 S_n，可得 S_n-1，根據(jù)S_n-S_n-1=a_n，化簡可得 

an

an-1

=

n-1

n-2

，a_n =k（n-1），故數(shù)列{a_n}是
等差數(shù)列．由a₂ =p=k•（2-1），求出 k 值，得到a_n =p（n-1）=pn-p．
（3）根據(jù)

an-1

an+1

=

(pn-p)-1

(pn-p)+1

＜1，且  

lim

n→∞

(pn-p)-1

(pn-p)+1

=1，得出數(shù)列

an-1

an+1

的“上漸進值”為1．

解答：解：（1）由 a=a₁=s₁ 和 Sn=

n(an-a1)

2

，
可得a1= 

1×(a1-a1)

2

=0，∴a=0．
（2）∵Sn=

n(an-a1)

2

=

nan

2

，∴Sn-1=

(n-1) •an-1

2

．
作差可得 S_n-S_n-1=

nan

2

-

(n-1) •an-1

2

，又S_n-S_n-1=a_n，化簡可得 

an

an-1

=

n-1

n-2

．
∴a_n =k（n-1），故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
顯然滿足a₁=0，a₂ =p=k•（2-1），∴k=p．
∴a_n =p（n-1）=pn-p．
故故數(shù)列{a_n}的通項為a_n =p（n-1），是首項為0，公差為p的等差數(shù)列．
（3）∵

an-1

an+1

=

(pn-p)-1

(pn-p)+1

＜1，

lim

n→∞

(pn-p)-1

(pn-p)+1

=1，
故數(shù)列{

an-1

an+1

} 的“上漸進值”為1．

點評：本題主要考查等差關(guān)系的確定，求數(shù)列極限的方法，“上漸進值”的定義，求出a_n =k（n-1），是解題的關(guān)鍵．