Question

【題目】如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分別為AE，AB的中點．
（Ⅰ）證明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求AD與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：連接DP，CQ，在△ABE中，P、Q分別是AE，AB的中點，∴ ，又 ，

∴ ，

又PQ平面ACD，DC平面ACD，

∴PQ∥平面ACD．

（Ⅱ）解：在△ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，∴CQ⊥AB．

而DC⊥平面ABC，EB∥DC，

∴EB⊥平面ABC．

而EB平面ABE，

∴平面ABE⊥平面ABC，

∴CQ⊥平面ABE

由（Ⅰ）知四邊形DCQP是平行四邊形，∴DP∥CQ．

∴DP⊥平面ABE，

∴直線AD在平面ABE內的射影是AP，

∴直線AD與平面ABE所成角是∠DAP．

在Rt△APD中， = = ，

DP=CQ=2sin∠CAQ=2sin30°=1．

∴ = ．

【解析】（Ⅰ）利用三角形的中位線定理 ，又已知 ，可得 ，再利用線面平行的判定定理即可證明；

（Ⅱ）利用線面、面面垂直的判定和性質定理得到CQ⊥平面ABE，再利用（Ⅰ）的結論可證明DP⊥平面ABE，從而得到∠DAP是所求的線面角．

【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和用空間向量求直線與平面的夾角，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補角的余角.即有：才能得出正確答案．