Question

【題目】關(guān)于函數(shù)f（x）=sin（x﹣）sin（x+），有下列命題：
①此函數(shù)可以化為f（x）=﹣sin（2x+）；
②函數(shù)f（x）的最小正周期是π，其圖象的一個(gè)對稱中心是（ ， 0）；
③函數(shù)f（x）的最小值為﹣ ， 其圖象的一條對稱軸是x=；
④函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)是偶函數(shù)；
⑤函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣ ， 0）上是減函數(shù)．
其中所有正確的命題的序號個(gè)數(shù)是（　　）
A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】C
【解析】①f（x）=sin（x﹣）sin（x+）=﹣[cos（2x+）﹣cos（﹣）]=﹣cos（2x+）=﹣sin[﹣（2x+）]=﹣sin（﹣2x）=﹣sin[π﹣（﹣2x）]=﹣sin（2x+），故正確；
②由①得f（x）=﹣cos（2x+），從而解得T==π，令2x+=k+可解得：x=+ ， k∈Z，故k=0時(shí)，（ ， 0）是一個(gè)對稱中心．故正確；
③由①得f（x）=﹣cos（2x+），令2x+=kπ可解得：x=-k∈Z，故k=1時(shí)，圖象的一條對稱軸是x= ， 函數(shù)f（x）的最小值為﹣ ． 故正確；
④函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為f（x﹣）=﹣cos[2（x﹣）+]=﹣cos[2x﹣+]=﹣cos2x，是偶函數(shù)，故正確；
⑤由①得f（x）=﹣cos（2x+），令2kπ﹣π≤2x+≤2π，可解得：-≤x≤k- ， k∈Z，即當(dāng)k=0時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣ ， ﹣）上是減函數(shù)，故不正確．
綜上可得，所有正確的命題的序號個(gè)數(shù)是4個(gè)．
故選：C．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角函數(shù)的積化和差公式的相關(guān)知識，掌握三角函數(shù)的積化和差公式：;．