Question

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，設(shè).

（1）若，，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，求；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②若對(duì)，且，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①；②

【解析】

（1）由條件知，即，從而判斷數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，且公差均為，利用公式，求和；

（2）首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，，再利用構(gòu)造可得，求得數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；②

不等式等價(jià)為，利用①的結(jié)果，討論為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，討論求的取值范圍.

（1）由條件知，即，

所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，且公差均為.

由，，所以，即，

所以，.

所以.

（2）①由，得，

由于符合上式，所以，

所以.

所以，即，

所以數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，

因?yàn)?/span>，所以.

②不等式即為，

由于，所以不等式即為.

當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，，

所以，

即對(duì)，且恒成立，

所以，解得.

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，

由，得對(duì)，且恒成立，

所以，解得，

因?yàn)?/span>，所以的取值范圍是.