Question

已知點H（0，-3），點P在x軸上，點Q在y軸正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

（1）當點P在x軸上移動時，求動點M的軌跡曲線C的方程；
（2）過定點A（a，b）的直線與曲線C相交于兩點S R，求證：拋物線S R兩點處的切線的交點B恒在一條直線上．

Answer 1

分析：（1）設出P，Q的坐標，利用

HP

•

PM

=0求得a和b的關(guān)系，設出M的坐標，利用

PM

=-

3

2

MQ

，可求得x和y的表達式，消去b，進而求得x和y的關(guān)系式．
（2）設出A，S，R，則可表示SR的方程把點A代入SR，同時對曲線C的方程求導，判斷出SR處的切線方程，最后聯(lián)立方程求得ax-2y-2b=0判斷出B點在直線．

解答：解：（1）設P（a，0），Q（0，b）則：

HP

•

PQ

=（a，3）（a，-b）=a²-3b=0
∴a²=3b
設M（x，y）∵

PM

=-

3

2

HQ

∴x=

a

1- 3 2

=-2a，y=

- 3 2 b

1- 3 2

=3b∴y=

1

4

x²
（2）設A（a，b），S（x₁，

1

4

x₁²），R（x₂，

1

4

x₂²），（x₁≠x₂）
則直線SR的方程為：y-

1

4

x₁²=

1 4 x22- 1 4 x12

x2-x1

（x-x₁），即4y=（x₁+x₂）x-x₁x₂
∵A點在SR上，
∴4b=（x₁+x₂）a-x₁x₂①
對y=

1

4

x²求導得：y′=

1

2

x
∴拋物線上SR處的切線方程為
y-

1

4

x₁²=

1

2

x₁（x-x₁）即4y=2x₁x-x₁²②
y-

1

4

x₂²=

1

2

x₂（x-x₂）即4y=2x₂x-x₂²③
聯(lián)立②③得

x= x1+x2 2 y= 1 4 x1 x2

代入①得：ax-2y-2b=0故：B點在直線ax-2y-2b=0上

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生對問題的綜合分析和基本的運算能力．