Question

（08年衡陽八中理）( 13分)  已知點H（0，3），點P在x軸上，點Q在y軸正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足，.

(1)當點P在x軸上移動時，求動點M的軌跡曲線C的方程；
(2)過定點A（a，b）的直線與曲線C相交于兩點S、R，求證：曲線C在S、R兩點處的切線的交點B恒在一條直線上.

Answer 1

解析：(1)解：設(shè)P（a,0），Q（0，b）
則：  ∴          …………1分     

設(shè)M（x,y）∵                                             

∴                            …………4分      

∴點M的軌跡曲線C的方程是(x≠0) ．              …………6分  

 

 

(2)解法一：設(shè)A(a,b)，，（x₁≠x₂）

則：直線SR的方程為：，即4y = (x₁+x₂)x－x₁x₂ 

∵A點在SR上，∴4b=(x₁+x₂)a－x₁x₂  ①                     …………8分 

對求導得：y′=x

∴拋物線上S、R處的切線方程為：

即4   ②

即4  ③                 …………11分 

聯(lián)立②③，并解之得 ，代入①得：ax－2y－2b=0

故B點恒在直線ax－2y－2b=0上．                             …………13分

解法二：設(shè)A(a,b)

當過點A的直線斜率不存在時l與拋物線有且僅有一個公共點，與題意不符，可設(shè)直線SR的方程為y－b=k(x－a)

與聯(lián)立消去y得：x²－4kx+4ak－4b=0             　     …………8分 

設(shè)，（x₁≠x₂）

則由韋達定理：                               …………9分

又過S、R點的切線方程分別為：，  …………11分 

故有 （k為參數(shù)）

消去k，得：ax－2y－2b=0

故B點恒在直線ax－2y－2b=0上．                             …………13分